Бином Ньютона
„Был этот свет глубокой тьмой окутан. "Да будет свет!" - и вот явился Ньютон"
Александр Поуп, английский поэт XVIII в.
Сэр Исаак Ньютон (25.12.1642 - 20.03.1727) - английский физик, математик, механик, астроном, философ, государственный деятель; член (1672) и президент (1703) Лондонского королевского общества, член Парижской Академии наук (1699), пэр Англии (1705).
Образование: Тринити-колледж Кембриджского университета (с 1661), с 1668 г - магистр Тринити-колледжа.
Направления научной деятельности: математика, механика, астрономия, оптика.
Основные труды в области математики:
-
«Математические начала натуральной философии» (1687)
-
приложение к «Трактату по алгебре» Валлиса (1693)
-
«О квадратуре кривых» (1704), приложение к монографии «Оптика»
-
«Перечисление линий третьего порядка» (1704), приложение к монографии «Оптика»
-
«Универсальная арифметика» (1707)
-
«Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (1711)
-
«Метод разностей» (1711)
-
«Метод флюксий и бесконечных рядов» (1736) :)
Основные достижения в области физики
Исаак Ньютон — основатель механики, важного раздела физики. Ему принадлежат три закона, названные его же именем; закон всемирного тяготения; разложение солнечного света на спектр и обратно; он стал автором популярной корпускулярной теории света; заложил основания теоретической механики и ввел ее основные понятия; построил первый телескоп-рефлектор и обнаружил новые явления, связанные с волновой природой света (в частности, открыл «кольца Ньютона», изучая явление интерференции); объяснил с научной точки зрения движение Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца.
Основные достижения в области математики
Математика для Ньютона - главный инструмент в изучении явлений реального мира. Заложив основы математического анализа, Ньютон стал автором теории бесконечных рядов, которая начинается с биномиального разложения произвольной (не обязательно целой) степени; разработал методы анализа бесконечно малых (изменений кривых линий), дифференциальное и интегральное исчисление ("метод флюксий", "метод квадратур"); геометрический метод пределов; метод решения дифференциальных уравнений; метод приближенного решения численных уравнений; исследования кривых третьего порядка.
Так чей же бином?
Нередко в статьях о биноме можно встретить обидную формулировку: "формула бинома, которая приписывается Ньютону". Приписывается - это значит, что автором является не выдающийся физик, математик, астроном и философ сэр Исаак Ньютон, и история математики по каким-то соображениям или по небрежности сохранила не то имя?
Сторонники "не-ньютоновской" точки зрения называют разные имена выдающихся математиков, живших и творивших в разных веках и разных странах Восточного мира и Европы. Главный аргумент таких сторонников: Ньютон воспользовался достижениями своих предшественников, поэтому не его имя должно быть у бинома.
Но если не Ньютон, то кто?
Мнение 1. Близкие результаты получил индийский математик Пингала (Pingala)
Мнение 2. Эту формулу открыл персидский учёный Омар Хайям (Omar Khayyam)
Мнение 3. Формула бинома была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю (Yang Hui)
Мнение 4. Блез Паскаль (Blaise Pascal) вывел формулу раньше Ньютона.
Историки математики называют также имена Насира ад-Дин Туси, Гияса аль-Дин Джамшида аль-Каши,
Михаэля Штифеля - авторов, которые в своих трудах подробно описывали применение и свойства разложения степеней двучленов.
Если рассматривать бином как формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, то великие математики древнего мира получили эту формулу действительно гораздо ранее Исаака Ньютона. Если бы степень бинома так и оставалась целой неотрицательной, тогда мы изучали бы в школе бином аль-Каши или бином Штифеля. Но как быть, когда показатель степени отрицательный, не целый и вообще - иррациональный или даже комплексный? В этом и состояла проблема, прямой путь к решению которой указал в XVII веке Исаак Ньютон. Поэтому бином носит именно его имя, и это исторически справедливо.
Для понимания заслуги Исаака Ньютона важно знать, что в последней трети XVII века в математике закладывались основы математического анализа, в частности, формировалась теория бесконечных рядов в ее современном виде.
Чтобы любую функцию разложить в ряд, нужно использовать биномиальное разложение не всегда натуральной степени. Ньютон расширил формулу бинома для степеней, которых у нее ранее не было. Сам Ньютон в одном из писем признавался: "В начале 1665 года я нашел метод приближенного вычисления рядов и правило для преобразования в ряд двучлена любой степени".
Расширенная формула бинома приводится Ньютоном в его письме Г. Ольденбургу от 13.06.1676 г.:
В пояснении к формуле Ньютон объясняет, что P - первый член, Q - совокупность остальных членов, деленных на первый (значит, если членов два, то Q - второй член, деленный на первый), m/n - числовой показатель степени, "...причем либо целой, либо (как я буду говорить) дробной, либо положительной, либо отрицательной". Загадочные буквы A, B, C, D и т.д. означают значение 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и т.д. члена в разложении.
Ньютон разъясняет применение предложенного им правила на конкретных примерах. Если показатель степени равен 1/2, 1/5, (-1/3), 4/3, (-1), (-3), то в разложении образуется бесконечный ряд; если степень "простая" (т.е. показатель степени - натуральное число), то разложение конечно. Все примеры описаны Ньютоном просто и понятно, даже для отрицательного дробного показателя!
Здесь же Ньютон подчеркивает практическое значение своей формулы (автор называет ее правилом): "По этому же правилу удобно выполнять умножение степеней, деление на степени или радикальные выражения и извлечение корней высших степеней в случае числовых выражений"
В справедливости формулы Ньютона мы убедились на примере куба суммы двух слагаемых. Применив формулу Ньютона, мы получили заранее известное разложение
Формула, предложенная Ньютоном, позволяет без особого труда находить разложение в ряд двучлена любой известной нам степени.
Формула бинома носит имя великого ученого по-праву: в XVii веке Исаак Ньютон не только обобщил формулу бинома для произвольного показателя степени, но и вывел на основе своего биномиального разложения теорию бесконечных рядов - новый инструмент математического анализа.
А знаете ли вы, что...
... Ньютон никогда не называл свою формулу биномом, а описывая ее, использовал термины "теорема", "правило";
... слово "бином" заимствовано в первой половине XIX века из французского языка, где binôme — сложение
латинского bi (bis - «двое, дважды») и греческого nomē («часть, доля»), в то же время уже М. Штифель в 1544 г.
использовал термин "биномиальный коэффициент" ("binomial coefficient");
... в "Полной арифметике" М.Штифеля приведена словесная формулировка формулы бинома для любого
натурального показателя и используются термины "квадратный бином", "квадрато-квадратный бином" (die
Binomia zensizensica) и "сверхтелесный (die sursolida) бином";
... Омар Хайям в своем алгебраическом трактате писал:"У индийцев имеются методы нахождения сторон квадратов
и ребер кубов... Нам принадлежит трактат о доказательстве правильности этих методов..." В трактате речь идет о
методе извлечения корней любой степени и о разложении степени бинома;
... в Иране треугольник биномиальных коэффициентов называют треугольником Хайяма;
... в сохранившихся математических трактатах китайских, индийских, иранских математиков слово "бином" не
употребляется;
... используемая таблица биномиальных коэффициентов, известная как треугольник Паскаля, в работе Халаюдхи
(Индия, X в.) носит название meru-prastaara, в Иране - треугольник Хайяма, в Китае - треугольник Яна Хуэя, в
Италии - треугольник Тартальи.