Треугольник Серпинского
„Математическая вселенная населена не только важными видами, но и интересными особями"
Карл Зигель (1896-1981), немецкий математик
Вацлав Франциск Серпинский (14.03.1882 - 21.10.1969) - польский математик. Автор 724 статей и 50 книг по теории множеств, аксиоме выбора, континуум-гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии.
Образование: физико-математический факультет Варшавского университета.
Направления научной деятельности: математика.
Основные труды в области математики:
-
«Об одной задаче из теории асимптотических функций» (1906);
-
«Введение в теорию определенного интеграла» (1911);
-
«О кривых, заполняющих квадрат» (1912);
-
«О поверхности, на которой каждая кривая имеет бесконечную длину» (1913);
-
«Об одном общем свойстве точечных множеств» (1916);
-
«Аксиома выбора и ее роль в анализе и теории функций» (1917);
-
«Двойственность между первой категорией и мерой нуль» (1934);
-
«Замечание к проблеме меры» (1936, совместно с Э.Марчевским);
-
«Лекции о трансфинитных числах» (1950);
-
«Кардинальные и порядковые числа» (1958);
-
«Пифагоровы треугольники» (1959);
-
«О решении уравнений в целых числах» (1961);
-
«Сто простых, но одновременно и трудных вопросов арифметики» (1961);
-
«Что мы знаем и чего не знаем о простых числах» (1963);
-
«О теории множеств» (1966);
-
« 250 задач по элементарной теории чисел» (1968).
Основные этапы научной деятельности
Вацлав Серпинский - основатель польской математической школы, которая начала складываться в 1920-х гг. вокруг журнала "Fundamenta Mathematicae", посвященного теории множеств и её приложению к геометрии (топологии), теории функций действительного переменного и математической логике.
В научной деятельности В.Серпинского можно выделить несколько периодов:
-
ранний период (1908-1914): чтение лекций по курсу теории множеств (с 1908 г.); работы по теории определенного интеграла, первые работы по теории меры;
-
московский период (1914-1918): написание исследовательских работ по теории функций, теории множеств; работа над учебником математики "Анализ" для университетов; сотрудничество с Н.Н.Лузиным (8 статей по дескриптивной теории множеств);
-
довоенный период (1918-1939): руководство кафедрой в Варшавском университете; руководство совместно с С.Мазуркевичем польским математическим журналом "Fundamenta Mathematicae" (с 1921 по 1939 г.г. в нем были напечатаны 14 статей В.Серпинского); чтение лекций за рубежом; этому периоду принадлежат ряд работ по топологии;
-
военный период (1939-1945): продолжение научной деятельности; подпольная преподавательская деятельность в Варшавском университете;
-
послевоенный период (1945-1967): чтение лекций в Ягеллонском, а затем в Варшавском университетах; возобновление издания журнала "Fundamenta Mathematicae"; возобновление издания «Acta Arithmetica» — единственного в мире журнала, посвященного только вопросам теории чисел; чтение лекций за рубежом; работы по популяризации элементарной теории чисел, в т.ч. издание школьной популярной математической литературы; до 1967 года - семинар по теории чисел в Польской академии наук.
Как ученый и одновременно преподаватель университета, В.Серпинский много сделал для развития методов современного математического доказательства: совместно с Н.Н.Лузиным им была рассмотрена роль
-
конструктивных методов доказательства,
-
неэффективного доказательства,
-
доказательств методом диагонали Кантора,
-
доказательств с привлечением трансфинитных последовательностей, аналитических множеств, понятия решета,
-
способа доказательства с помощью аксиомы Цермело (в дальнейшем стал основным в работах В.Серпинского)
Основные направления в исследовательской деятельности
Направления, в которых работал В.Серпинский в основной период своей деятельности:
-
-
теория чисел,
-
общая теория множеств,
-
аналитические и проективные множества,
-
общая топология,
-
теория меры, измеримости и категории,
-
теория функций действительной переменной
-
Проблемы, которые исследовал ученый в теории множеств:
-
характеристика пеановских континуумов (совместно с С.Мазуркевичем);
-
исследование борелевских, аналитических, проективных множеств (совместно с К.Куратовским);
-
проблема инвариантности свойств измеримости;
-
проблема непрерывности и свойства Бэра;
-
связь аксиомы выбора с гипотезой континуума;
-
исследование множества Лузина.
С 1916 г. учёный стремится систематизировать результаты, полученные им самим и другими математиками в области теории меры. Он использует другие способы доказательства, дает эквивалентные формулировки, устанавливает степень общности:
-
новое доказательство теоремы Бореля;
-
новое доказательство теоремы Фреше;
-
новое доказательство теоремы Лузина;
-
новое доказательство теоремы Витали;
-
новое доказательство теоремы Лузина (1912);
-
4-е (совместно с Н.Н.Лузиным) и 6-е доказательства существования «множества Лузина»;
-
доказательство нулевой меры непрерывного образа множества Лузина;
-
доказательство основной теоремы Суслина об А-множествах;
-
открытие первого примера абсолютно нормального числа (числа, в записи которого все цифры равновероятны, в какой бы системе счисления его ни записывать);
-
систематизация проблемы меры и измеримости по их зависимости от аксиомы Цермело;
-
открытие нового метода в доказательстве существования, названного позднее Н.Н.Лузиным принципом минимума;
-
доказательство существования абсолютно нулевого множества, имеющего мощность континуума.
Главное открытие В.Серпинского в теории меры - установление двойственности между мерой и категорией: учёный выдвинул и доказал гипотезу о существовании взаимно-однозначного соответствия между множествами первой категории и меры нуль.
Исследования в области теории функций:
-
исследования сходимость рядов и дифференцируемости функций;
-
изучение условной сходимости;
-
расширение области приложения целочисленных рядов;
-
оригинальное построение непрерывной функции, которая ни в одной точке не имеет ни конечной, ни бесконечной производной.
Открытия в области топологии:
-
формулировки нескольких теорем об особых топологических мощностях;
-
описание геометрических образов некоторых замкнутых множеств (т.н. кривые Серпинского: универсальная кривая Серпинского, треугольная кривая Серпинского)
Значимость достижений В.Серпинского для математической науки
-
многие множества, функции, построенные ученым с помощью аксиомы выбора и гипотезы континуума, использовались другими исследователями в их работах о мере и измеримости, категории и мощности, и послужили истоками новых исследований польской математической школы;
-
работа по обобщению многих важных теорем (с новыми доказательствами) способствовала развитию и упорядочиванию основных положений теории множеств;
-
многие научные результаты Серпинского стали отправным или вспомогательным пунктом работ мировых ученых (например, его идеи в области топологии были развиты в работах С.Мазуркевича, П.С.Урысона, а в дальнейшем - Мандельброта).
Мы не думаем, что древние мастера знали о существовании фракталов, изучали топологию, когда выбирали орнаменты для украшения храмов, дворцов. Но они могли видеть красоту, выкладывая в особом порядке небольшие треугольные кусочки мрамора. Современные математики называют этот орнамент итерациями треугольника Серпинского.
Изящество этого фрактала используют и современные дизайнеры, украшая его вариациями одежду, аксессуары и даже чайные сервизы.
Математические особенности треугольника Серпинского широко используются также и в современных технологиях...
Одна из тайн арифметического треугольника Паскаля - это фракталы, которые скрываются в его недрах. Общеизвестно, что если выделять только четные числа, то мы получим треугольник Серпинского. Но точно так же можно поступать с числами любой кратности.
Мы выбирали числа, кратные 4-м, и получили удивительный результат: красивый и даже стильный орнамент, полученный в результате арифметических вычислений. Нам показалось мало брать 100 строк, мы пошли дальше пока не закончился лист ватмана.
Этот фрактал - бесконечен и прекрасен. :)
А знаете ли вы, что...
... с начала Первой мировой войны В.Серпинский вместе со своей семьей находился в Вятке, куда был сослан как германский подданный;
... благодаря поддержке русских математиков в 1915 г. В.Серпинский получил разрешение на переезд в Москву, где жил и плодотворно работал 3 года;
... на протяжении нескольких десятилетий для В.Серпинского близким другом и товарищем по совместным исследованиям был Н.Н.Лузин;
... в 1919-1920 г.г. группа польских военных шифровальщиков, в которую входили выдающиеся математики, в т.ч. В.Серпинский, взломали военные шифры русской и немецкой армий, что повлияло на ход военных действий;
... во время Второй Мировой Войны, в октябре 1944 года, вместе с домом В.Серпинского погибла и его ценнейшая библиотека;
... в феврале 1945 г. В.Серпинский был освобожден из нацистского концлагеря;
... именем Серпинского назван один из кратеров на Луне.