Применение бинома
Развитие теории числовых и функциональных рядов
Биномы и их разложения в ряд играют в математике особую роль, и Исаак Ньютон стал главным создателем исключительно продуктивного метода математического анализа - разложения в ряды (конечные и бесконечные).
Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение, так как позволяет
-
решать различные задачи исследования функций,
-
вычислять пределы,
-
дифференцировать,
-
интегрировать,
-
решать дифференциальные уравнения,
-
вычислять приближенные значения функции.
Теория вероятностей. Биномиальное распределение
Пусть происходит n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие может появиться с одной и той же вероятностью p. Тогда случайная величина xi - количество испытаний, в которых появилось это событие - имеет биномиальное распределение вероятностей. Если xi=0, это значит, что событие не произошло ни разу; если xi=n, это значит, что событие произошло во всех испытаниях.
которую можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
Формула биномиального распределения и формула бинома Ньютона - это практически одинаковые формулы.
Задача.
По одному и тому же маршруту в один и тот же день совершают полет 3 самолета. Вероятность посадки по расписанию для каждого равна 0,7.
Составить закон распределения случайного числа самолетов, отклонившихся от расписания.
Приведём решение этой задачи, в котором используется разложение бинома 3-й степени.
Коэффициенты для каждого слагаемого (1, 3, 3, 1) - биномиальные коэффициенты треугольника Паскаля :))
Распределение называется биномиальным, потому что вероятность выпадания величины x из n испытаний k раз определяется формулой Бернулли,
Извлечение корней
Используя бином Ньютона, можно извлечь корень с любой степенью точности. Пусть требуется извлечь корень степени m из целого числа A. Если подобрать такое число a, что m-я степень этого а была бы как можно ближе к А, то, выполнив простые преобразования
можно вычислить корень по формуле бинома Ньютона. Ряд, который при этом образуется, будет сходиться тем лучше, чем ближе к А находится m-я степень a.
Решение технических задач
Разложение бинома в бесконечный ряд используется в решении технических задач. В качестве примера рассмотрим одну из них.
Задача.
Известно, что Т1 - долговечность вала, вращающегося с постоянной угловой скоростью, при приложении к нему поперечной нагрузки, равной Q1.
Определить, насколько уменьшится долговечность вала, если нагрузка увеличится на некоторую величину.
Приведём решение этой задачи, в котором используется разложение бинома 9-й степени.
Из кн.: Шкарин А. Б.,Федянов А. М., Сандлер Б.Г. Алгебраические задачи в технике (сборник задач): учебное пособие – Москва: Государственное учебно-педагогическое издательство, 1962.
