Описано правило разложения  бинома по натуральным степеням n (n=2): средствами геометрической алгебры доказывались тождества для разложения квадратов суммы и разности двух чисел

Подобно пифагорейцам, средствами геометрической алгебры  доказывались тождества  

В своем учении "о составлении поэзии на основе длинных и коротких слогов"  впервые описал двоичную систему счисления; при рассмотрении комбинаторики метра Пингале приписывается биномиальная теорема для n= 2

Описано  разложение бинома третьей степени  (n=3)

Для объяснения метода Пингалы выдвинул идею того, что сегодня называется треугольником Паскаля, который он назвал лестницей горы Меру (meru-prastaara)

При извлечении корней натуральной степени при небольших показателях традиционно использовался метод, при котором вычислялась разность 

Ученый интересовался ее нахождением  и умел вычислять значения  корней  при n=7. 

Представил первую формулировку биноминальной теоремы (с доказательством методом математической индукции в его ранней форме) и соответствующую таблицу коэффициентов, с правилом их вычисления (в современной математике это треугольник Паскаля).  Ал-Караджи также были известны коэффициенты при разложении двучлена для n = 3, 4

Приводится приём извлечения квадратного и кубического корней из чисел, основанный на знании разложении бинома для n=2 и n=3.  

Хайям первый предложил общий приём извлечения из чисел корней n-ой степени, вероятно, основанный на знании формулы бинома n-ой степени, но рукописи с описанием этого открытия не сохранились. Треугольная схема биномиальных коэффициентов в Иране носит имя треугольника Хайяма

Изложен метод, который назван автором как "система табуляции для разблокировки биномиальных коэффициентов" . В трактате приведена треугольная таблица чисел (треугольник Цзя Сяня),  являющихся разложением бинома до 6-й степени: в ней очередной коэффициент получался суммированием двух предыдущих.

Доказывается биномиальная теорема для n=3, 4, 7; в п.8 книги  дается формула бинома и таблица нахождения биномиальных коэффициентов для n=1, .., 12

Четко изложено правило вычисления биноминальных коэффициентов 

Биномиальные разложения малых степеней:  от n=1  до n=6. Хуэю принадлежит самые древнее дошедшие до нас изображения арифметического треугольника  (треугольника Хуэя)

При описании метода извлечения корней ад-Туси использует известную разность

которая  находится по правилу, равносильному формуле бинома Ньютона для натуральных степеней. Здесь же  дается таблица биномиальных коэффициентов подобно треугольнику Паскаля , которые он использует  при разложении степеней бинома до 12-й степени (n=12); но не связывает биноминальные коэффициенты с числом сочетаний  (по комбинаторной формуле):

На титульном листе своего сочинения  китайский математик приводит  арифметический треугольник, в котором  записаны биномиальные коэффициенты до 8-й степени включительно. Автор не претендовал на новизну своей треугольной таблицы, т.к. считал, что биноминальная теорема была известна в Китае еще в начале  XII  века.

Исследовано свойств биномиальных коэффициентов при описании общего приема извлечения корней  с любым натуральным показателем, показано разложение бинома при n=9.  Словесно описывается  формула составления биномиальных коэффициентов, приводится таблица коэффициентов, называемая в математике треугольником Паскаля. В своих исследованиях Каши ссылается на Омара Хайяма. 

Штифель даёт словесное описание формулы бинома для  любого натурального показателя. Термин биномиальный коэффициент принадлежит именно  Штифелю.

Для вычисления дробной части корня n-й степени из целого числа  Штифель по известной еще в Индии и Китае формуле    получал биноминальные  коэффициенты аддитивным способом  (сложением) и помещал их в таблицу (до n=17 включительно).

В сочинении подробно рассматриваются многие вопросы арифметики, алгебры и геометрии. Трактат содержит также таблицу так называемых биномиальных коэффициентов (треугольник Тартальи).  Каждое число получено путём сложения чисел, стоящих  перед ним и над ним .Эта таблица была нужна Тарталье для нахождения  биномиального разложения в случае натуральных степеней .

В книге приводится  ряд биномиальных соображений ;  со ссылкой на работы Штифеля  автор вводит биномиальные коэффициенты. Работа Кардано способствует всеобщему распространению арифметического треугольника.

В трактате  изложено разложение бинома до 7-й степени, используя коэффициенты для вычисления  соответствующих корней

В опубликованной работе

впервые      представлен

биномиальный     ряд

для натуральных степеней

В т.II  рассматривается арифметический треугольник как основной элемент в разложении бинома, а также приводится формула для нахождения числа сочетаний. Однако их связь с треугольным расположением чисел еще четко не прослеживается

В трактате представлено детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов. При  этом  впервые в истории ученому удалось установить, что биномиальные коэффициенты и сочетания чисел из n элементов по m одно и то же. Поэтому его исследования  касались также изучения сочетаний и выяснения их свойств. 

Паскаль расположил биномиальные коэффициенты  в виде треугольника, который назвал арифметическим. В современной математике он называется арифметический треугольник Паскаля.

Д. Грегори относится к  числу первых исследователей, приблизившихся к биномиальному разложению;  почти одновременно с Ньютоном и независимо от него шотландским математиком была доказана биномиальная теорема. В своих работах  опубликовал множество разложений в бесконечные ряды, используя разложение бинома.  В дальнейшем разложение в ряд становится основным методом Ньютона.

Близко подошел к открытию биномиального ряда . Неполная математическая индукция привела его к обобщению результата на все дробные, а затем и отрицательные показатели степени. Но для Валлиса самого действия с отрицательными показателями пока нет. Своими работами ученый подготовил почву для расширения понятия степени бинома, выполненные Исааком Ньютоном.

Хотя мемуар опубликован в 1741 г., к открытию общего биномиального ряда Исаак Ньютон пришёл ещё в 1664-1665 гг., а записал общее биномиальное разложение в письме 1676 года.  Ученый пояснил в нём, что с помощью индукции, подобно Валлису, он пришел к открытию мультипликативного правила составления биномиальных коэффициентов. 

Формула использует обозначения, мало отличные от современных, и самим Ньютоном  доказана не была.