Тайны треугольника
Арифметический треугольник не является изобретение Блеза Паскаля. Его знали и использовали европейские, китайские, арабские математики, жившие задолго до Паскаля. Но именно последний подробно изучил свойства этого математического чуда :) Интересно, что и современные математики продолжают раскрывать его секреты.
Симметричность треугольника
Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси:
-
в каждой строке числа, равноудаленные от оси, равны;
-
первое и последнее числа в строке равны 1;
-
второе и предпоследнее числа равны номеру строки.
Строковое отличие
Если сложить числа, стоящие в двух соседних строках, то сумма чисел одной строки будет в 2 раза больше суммы чисел предыдущей строки. Это значит, что суммы чисел образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2.
Треугольные числа
В каждой строке, начиная со второй, числа, стоящие на 3-м месте (слева или справа), являются треугольными: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...
Сумма чисел в строке
Если вычислить сумму чисел (биномиальных коэффициентов) в строке с номером N, то она будет равна 2 в степени N.
Замечание: самая первая строка, в которой стоит единица, считается нулевой.
Параллелограмм в треугольнике
Каждая ячейка треугольника, уменьшенная на 1, равна сумме значений предыдущих ячеек, заключенных между двух диагоналей (на пересечении этих диагоналей и находится выделенная ячейка).
Например:
21-1=5+4+1+3+1+2+1+1+1+1
Полные квадраты
Если на диагонали с треугольными числами попарно складывать соседние, то каждая сумма есть полный квадрат; на первом рисунке - квадрат нечётных, а на втором - чётных чисел:
0+1=1, 3+6=9, 10+15=25... или
1+3=4, 6+10=16, 15+21=36...
Загадочное чис ло e
Если перемножить числа (N-1)-го и (N+1)-го ряда, а потом разделить это произведение на квадрат произведения чисел N-го ряда, то получится число, приближенно равное числу e=2,71828....
Чем дальше от вершины выбирать числовые ряды, тем точнее будет частное. Например:
Сумма смежных ячеек
Если сложить произвольное число смежных ячеек некоторой строки треугольника, начиная с одного из ее концов, то полученная сумма будет равна удвоенной сумме таких же ячеек предыдущей строки за вычетом последней взятой ячейки.
Например, если в 6-й строке выбрать первые 5 чисел, то:
1+6+15+20+15=
= 2*(1+5+10+10+5)-5
Только нечетные числа в строке
Если номер строки может быть выражен формулой n=
в которой k=0, 1, 2, 3...,
то все числа, стоящие в этой строке - нечетные.
Простые числа
Если в строке после единицы стоит простое число, то оно является делителем каждого числа в этой строке, отличного от единицы.
Биномиальные коэффициенты
Каждое число в строке с номером n является соответствующим коэффициентом в разложении бинома (a+b)^n.
Хоккейная клюшка
Если начать двигаться от любого числа все время вниз по диагонали и на последнем шаге изменить направление, то значение последнего числа будет равно сумме всех чисел в этой диагонали.
Действительно:
1+2=3; 1+2+3+4+5+6=21.
Фракталы
Если выделить цветом ячейки, кратные одному и тому же числу, будут получены фигуры с признаками самоподобия.
Например, если выделить ячейки, кратные 2-м, то получится фрактал треугольник Серпинского.
Четные-нечетные
Если для каждой строки определить сумму чисел, стоящих на четных и нечетных местах, то полученные суммы будут равны.
Например, для 4-й строки (1, 4, 6, 4, 1):
-
1+6+1=8
-
4+4=8
Обе суммы равны
Пропорциональность чисел, смежных по одной строке
Если два числа являются смежными в одной и той же строке, то правое число относится к левому как количество чисел от правого смежного включительно до правого конца строки к количеству тех чисел, что расположены от левого смежного, также включительно, до левого конца строки.
Например, для 7-й строки:
35:21=5:3
Комбинаторика
Каждый элемент арифметического треугольника может быть вычислен комбинаторно - по формуле числа сочетания
Тетраэдральные числа
В каждой строке, начиная с третьей, числа, стоящие на 4-м месте (слева или справа), являются тетраэдральными:
1, 4, 10, 20, 35, ...
Степени числа 11
Если рассматривать биномиальные коэффициенты в строке N как коэффициенты разрядных единиц для десятичной системы счисления, то по номеру строки N легко определяется значение 11 в степени N.
Например:
Числа Фибоначчи
Если для каждой отмеченной восходящей диагонали посчитать сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, то получится соответствующее число Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Числа Каталана
Если в каждой чётной строке с номером N из центрального биномиального коэффициента вычесть соседний, стоящий в той же строке слева (или справа), то получится число Каталана N/2 +1.
Числа Каталана: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, ...
Сумма квадратов
Если вычислить сумму квадратов чисел, стоящих в N-й строке, то полученное число равно среднему элементу 2*N-й строки.
Например, для строки с номером 3 сумма квадратов равна 1+9+9+1=20; средний элемент 6-й строки тоже равен 20.
Пропорциональность чисел, смежных по одной диагонали
Если обозначить число, стоящее в n-ой строке и k-ом столбце как
то выполняется следующее
свойство двух смежных чисел:
Например, для чисел 35 и 20: 35:20=7:4
